(English version)

Correction succinte

     Dans tout le problème, on désigne par V un espace vectoriel sur le corps commutatif K (qui sera toujours R ou C), de dimension finie n. Une partie F de l'ensemble L(V) des endomorphismes de V sera dite trigonalisable s'il existe une base de V dans laquelle la matrice de tout élément de F est triangulaire supérieure. On rappelle qu'un sous-espace W de V est dit stable par F si, pour tout u Î F, W est stable par u, i.e. u(x) Î W pour tout x Î W.

     Le thème général du problème est la recherche de vecteurs propres communs aux éléments d'une partie F de L(V) possédant des propriétés convenables, avec, comme principale application, l'obtention de conditions suffisantes de trigonalisabilité.

I.1 1^°) Montrer que, pour qu'une partie F de L(V) soit trigomalisable, il est nécessaire que les éléments de F aient un vecteur propre en commun.(Corrigé)

     On suppose, dans toute la suite de cette partie, que F est un sous ensemble de L(V) tel que, quels que soient u Î F et v Î F, on ait u° v = v ° u. On se propose de prouver que F est trigonalisable.

I.2 2^°) Soient u Î F, l une valeur propre de u et V_u(l) le sous-espace propre correspondant. Montrer que V_u(l) est stable par F.(Corrigé)

I.3 3^°) Montrer que les éléments de F ont un vecteur propre commun.(Corrigé)

I.4 4^°) Montrer que F est trigonalisable.(Corrigé)

I.5 5^°) On suppose, de plus, que tout élément de F est diagonalisable. Peut on trouver une base de V dans laquelle la matrice de tout élément de F est diagonale? (Corrigé)

I.6 6^°) Reprendre le problème posé à la question 2^°, en remplacant C par R.(Corrigé)

     Etant donné u Î L(V) et v Î L(V), on pose [u,v]=u° v - v° u. On dit qu'un sous-ensemble F de L(V) est une algèbre de Lie (d'endomorphismes de V) si les conditions suivantes sont remplies :

(i)  F est un sous-espace vectoriel de L(V)
(ii)  quels que soient u Î F et v Î F, [u,v] Î F.

     On appelle dimension d'une algèbre de Lie F, et on note dim(F), sa dimension en tant qu'espace vectoriel sur K.

     Etant donné une algèbre de Lie F, on appelle idéal de F tout sous-espace vectoriel I de F tel que [u,v] Î I quels que soient u Î F et v Î I.

II.1 1^°) Soit F une algèbre de Lie de dimension 2, telle qu'il existe u₀ Î F et v₀ Î F vérifiant [u₀,v₀] ¹ 0 ; soit d'autre part F¢ une seconde algèbre de Lie de dimension 2, possédant la m\^eme propriété. Démontrer qu'il existe un isomorphisme (d'espaces vectoriels) f de F sur F¢ tel que f([u,v])=[f(u),f(v)] quels que soient u Î F et v Î F.(Corrigé)

     Soient F une algèbre de Lie et I un idéal de F. Etant donné une forme linéaire l sur I, on désigne par W le sous-espace de V formé des vecteurs x tels que v(x)=l(v)x pour tout v Î I. Le but des questions 2^° à 5^° est de montrer que W est stable par F.

     Soit u Î F, et soit x un élément non nul de W ; on définit par récurrence une suite (x_k) en posant x₀=x et x_k = u(x_k-1) pour tout entier k ³ 1.

II.2 2^°) Démontrer que, pour tout k Î N et tout v Î I, v(x_k)-l(v)x_k appartient au sous-espace engendré par {x₀,x₁,¼,x_k-1}.(Corrigé)

II.3 3^°) Soit U le sous-espace de V engendré par les vecteurs x_k, où k décrit N. Montrer que U est stable par I È u.(Corrigé)

II.4 4^°) Etablir une relation entre l([u,v]) et la trace (i.e. la somme des valeurs propres) de la restriction à U de l'endomorphisme [u,v].(Corrigé)

II.5 5^°) Montrer que W est stable par F.(Corrigé)

     On dit qu'une algèbre de Lie F est résoluble s'il existe une suite croissante

{0} = F0 Ì F1 Ì ¼ Ì Fp = F

de sous-espaces de F tels que, pour tout entier k vérifiant 1 £ k £ p, on ait :

[u,v] Î Fk-1 quels que soient u Î Fk et v Î Fk

II.6 6^°) Montrer que toute algèbre de Lie de dimension £ 2 est résoluble.(Corrigé)

     Le but des questions suivantes est de prouver le "théorème de Lie", qui affirme que toute algèbre de Lie résoluble est trigonalisable. Soit donc F une algèbre de Lie résoluble.

II.7 7^°) Soit d=dim(F). Montrer qu'il existe un idéal I de F, de dimension d-1. Montrer que I est aussi une algèbre de Lie résoluble.(Corrigé)

II.8 8^°) Montrer que les éléments de F ont un vecteur propre commun.(Corrigé)

II.9 9^°) Montrer que F est trigonalisable.(Corrigé)

II.10 10^°) Montrer que, réciproquement, toute algèbre de Lie trigonalisable est résoluble.(Corrigé)

II.11 11^°) Montrer que le résultat de I.4^° est un corrolaire du théorème de Lie.(Corrigé)

     Dans cette partie, le corps de base K est indifféremment R ou C. Pour tout u Î L(V), on notera ad_u l'élément de L(L(V)) défini par ad_u(v)=[u,v] pour tout v Î L(V).

III.1 1^°) Vérifier que, pour u Î L(V) et v Î L(V), on a ad_[u,v]=[ad_u,ad_v].(Corrigé)

III.2 2^°) Montrer que, si u est un élément nilpotent de L(V), alors ad_u est un élément nilpotent de L(L(V)).(Corrigé)

III.3 3^°) Soient F et G deux algèbres de Lie (d'endomorphismes de V) telles que G Ì F. Soit H un supplémentaire de G dans F, et soit q la projection sur H parallèlement à G, i.e. l'application de F dans H qui associe à tout u Î F l'unique v Î H tel que u-v Î G. Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire. (Corrigé)

p: G ® L(H)

telle que, pour tout g Î G et tout u Î F,

p(g)(q(u)) = q([g,u]).

     On désigne désormais par F une algèbre de Lie (d'endomorphismes de V), telle que tout élément de F soit un endomorphisme nilpotent de V. On se propose de démontrer le "théorème d'Engel", qui affirme qu'il existe un vecteur non nul x Î V tel que u(x)=0 pour tout u Î F.

III.4 4^°) Soit G une seconde algèbre de Lie d'endomorphismes de V, telle que G Ì F et G ¹ F. On reprend les notations introduites dans la question précédente et on pose F¢ = p(G), V¢=H. Montrer que F¢ est une algèbre de Lie d'endomorphismes de V¢, que dim(F¢) < dim(F) et que tout élément de F¢ est nilpotent. (Corrigé)

III.5 5^°) Soit d=dim(F). On suppose que, pour tout espace vectoriel W de dimension finie sur K, et toute algèbre de Lie B d'endomorphismes de W, formée d'éléments nilpotents et vérifiant dim(B) £ d-1, il existe un vecteur non nul x Î W tel que u(x)=0 pour tout u Î B. Par ailleurs, on reprend les hypothèses et notations de la question 4^°. Montrer qu'il existe une algèbre de Lie G₁ d'endomorphismes de V, vérifiant les propriétés suivantes :

G Ì G1 Ì F

dim(G1) = dim(G) + 1

G1 est un idéal de G.

En déduire qu'il existe un idéal F₁ de F, tel que dim(F₁)=d-1. (Corrigé)

III.6 6^°) Démontrer le théorème d'Engel. (Corrigé)

III.7 7^°) Montrer que toute algèbre de Lie constituée d'endomorphismes nilpotents de l'espace vectoriel V est trigonalisable.(Corrigé)